回溯算法

核心思想

回溯 = 试错 + 撤销。在搜索空间树上 DFS，每一步有多个选择，不满足约束就回退。

典型解题模式：
  void backtrack(路径, 选择列表)
      if 满足结束条件: 记录结果; return
      for 选项 in 选择列表
          if 选项非法: continue      ← 剪枝
          做选择
          backtrack(路径, 新选择列表)
          撤销选择

子集 (Subsets)

// [1,2,3] → [[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]
vector<vector<int>> subsets(vector<int> &nums) {
    vector<vector<int>> res;
    vector<int> path;
    function<void(int)> dfs = [&](int start) {
        res.push_back(path);           // 每个节点都记录
        for (int i = start; i < nums.size(); ++i) {
            path.push_back(nums[i]);
            dfs(i + 1);                // i+1：不重复选
            path.pop_back();
        }
    };
    dfs(0);
    return res;
}
// 复杂度：O(n × 2ⁿ) — 2ⁿ 个子集，每个需要 O(n) 拷贝

排列 (Permutations)

// [1,2,3] → 3! = 6 种排列
vector<vector<int>> permute(vector<int> &nums) {
    vector<vector<int>> res;
    vector<int> path;
    vector<bool> used(nums.size(), false);

    function<void()> dfs = [&]() {
        if (path.size() == nums.size()) {
            res.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            if (used[i]) continue;     // 已选过，跳过
            used[i] = true;
            path.push_back(nums[i]);
            dfs();
            path.pop_back();
            used[i] = false;
        }
    };
    dfs();
    return res;
}
// 复杂度：O(n × n!) — n! 个排列

去重排列

// [1,1,2] → [[1,1,2],[1,2,1],[2,1,1]]
// 关键：同层去重
sort(nums.begin(), nums.end());
// 在 for 循环中加:
if (i > 0 && nums[i] == nums[i-1] && !used[i-1]) continue;
// 解释：相同元素，前一个没用过说明是同层重复

组合 (Combinations)

// C(n, k) — 从 n 个中选 k 个
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
    vector<vector<int>> res;
    vector<int> path;
    function<void(int)> dfs = [&](int start) {
        if (path.size() == k) { res.push_back(path); return; }
        // 剪枝：剩余不够 k 个
        for (int i = start; i <= n - (k - path.size()) + 1; ++i) {
            path.push_back(i);
            dfs(i + 1);
            path.pop_back();
        }
    };
    dfs(1);
    return res;
}

N 皇后

vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
    vector<vector<string>> res;
    vector<string> board(n, string(n, '.'));
    vector<bool> col(n), diag1(2*n), diag2(2*n);  // 列 + 两个对角线

    function<void(int)> dfs = [&](int row) {
        if (row == n) { res.push_back(board); return; }
        for (int c = 0; c < n; ++c) {
            if (col[c] || diag1[row+c] || diag2[row-c+n]) continue;
            col[c] = diag1[row+c] = diag2[row-c+n] = true;
            board[row][c] = 'Q';
            dfs(row + 1);
            board[row][c] = '.';
            col[c] = diag1[row+c] = diag2[row-c+n] = false;
        }
    };
    dfs(0);
    return res;
}
// 对角线索引：主对角 row+col 相同，反对角 row-col 相同

剪枝策略总结

策略	示例
跳过已用元素	used[i]
同层去重	nums[i]==nums[i-1] && !used[i-1]
剩余不够	n - start + 1 < k - path.size()
提前判断非法	N 皇后的对角线检查
排序后剪枝	组合总和问题 sort + break

复杂度快速估算

排列：O(n!)
组合：O(C(n,k))
子集：O(2ⁿ)
N 皇后：O(n!) 但剪枝后远小于